Sah cu Ceausescu

Aici veti gasi cele mai interesante subiecte ale sportului mintii!Nu ezitati sa intrati in misterioasa si tulburator de frumoasa lume a sahului! Sa aveti in fiecare zi pofta de viata si de sah!

Probleme de logica la inceput de saptamana (40)

Posted by dan bujor on May 3, 2010

40


Cred ca la inceput de saptamana cand nici iarba nu creste, un imbold primit din partea unor probleme de logica ar fi binevenit pentru “demarajul” mintal necesar unei noi saptamani. Sper sa fiti mai inspirati decat sunt eu lunea.

Problema 1

Un magician, in timpul unui spectacol, a pus pe masa un joben, cu gura in sus.

-In acest joben sunt doi iepuri, a declarat el. Fiecare dintre ei este sau alb, sau negru, cu o probabilitate egala. O sa va conving, cu ajutorul asistentei mele, ca pot deduce culoarea lor, fara sa ma uit in joben!

Dupa care a scos din costumul lui inca un iepure de culoare neagra, si a rugat-o pe asistenta lui sa-l puna si pe acesta in palarie. Dupa care magicianul s-a intors catre public, si a spus:

– Inainte de adaugarea celui de-al treilea iepure erau patru combinatii de culori ale iepurilor, cu probabilitati egale, si a scris pe o tabla: A(lb) N(egru), AA, NA si NN, iar probabilitatea pentru fiecare este de 1/4. Dar am adaugat un iepure negru. Acum posibilitatile sunt NNN, NAN, NNA si AAN, iar probabilitatea pentru fiecare este tot de 1/4. Sa presupunem ca as scoate un iepure din palarie. Care ar fi probabilitatea sa fie negru? Daca configuratia ar fi NNN, probabilitatea ar fi 1, daca configuratia ar fi AAN, probabilitatea ar fi de 1/3, pentru celelalte configuratii probabilitatea fiind de 2/3. Acum probabilitatea totala este 1/4 x 1 + 1/4 x 2/3 + 1/4 x 2/3 + 1/4 x 1/3, ceea ce da exact 2/3.

-Dar, daca sunt trei iepuri in palarie, din care exact n sunt de culoare neagra, si restul albi, probabilitatea de a extrage un iepure negru este de n/3. Deoarece n = 2, rezulta ca in palarie sunt doi iepuri negri! Dupa care baga mana in palarie si scoate un iepure de culoare neagra. Cum eu am adaugat acest iepure de culoare neagra, inseamna ca perechea originala din palarie trebuie sa fi continut un iepure de culoare neagra si unul de culoare alba!

Exista vreo eroare in acest rationament?

Problema 2

-Vad ca ai o pisica, i-a spus Aurel Claudiei. Imi place mult ca are coada alba. Cate pisici ai?

-Nu atat de multe. Elena are 20, ceea ce inseamna mult mai multe decat am eu.

-Asta tot nu-mi raspunde la intrebare.

-Sa spunem ca daca alegi doua pisici de-ale mele, la intamplare, probabilitatea ca amandoua sa aiba coada alba este exact ½.

-Dar asta nu-mi spune cate pisici ai?

-Ba da!

Cate pisici are Claudia, si cate dintre ele au coada alba?

Problema 3

Daca avem o sfera din metal careia i-a fost gaurita chiar prin centru o gaura cilindrica avand inaltimea de 1 metru, fara a se cunoaste raza sferei, se poate calcula volumul de metal al acestei “sfere gaurite”?

Problema 4

Aurel a cumparat 2 biciclete. Una i-a vandut-o lui Bogdan cu 300 de lei, in pierdere cu 25%, si una lui Costel, tot cu 300 de lei, cu un profit de 25%. In total a iesit pe 0, sau a iesit in pierdere sau in castig, si daca da cu cat?

Problema 5

O naveta spatiala pleaca din centrul unui univers radial cu raza de 100 de ani lumina, si calatoreste radial catre marginea acestuia cu viteza luminii. La sfarsitul fiecarui an universul isi mareste instantaneu raza cu exact 1000 de ani lumina.

In aceste conditii, este capabila naveta sa ajunga la marginea universului, si, daca da, in cat timp?

10 Responses to “Probleme de logica la inceput de saptamana (40)”

  1. Miroiu Catalin said

    Problema 4: a iesit pe minus 40 , adica in pierdere

  2. Gabriela said

    La Problema 4, Aurel a pierdut 15 lei.

  3. tactumare said

    P4 gaură de 40.

  4. dan bujor said

    Bicicleta pe care i-a vandut-o lui Bogdan l-a costat 400 lei, si a pierdut 100 lei la revanzare (care reprezinta 25% din 400), iar cea pe care i-a vandut-o lui Costel l-a costat 240 lei, si a castigat 60 lei la revanzare (care reprezinta 25% din 240).
    Asa ca, per total, Aurel a pierdut 40 de lei.

  5. Vlad Teodor said

    Problema 2.
    Claudia are “n” pisici, dintre care “a” au coada alba. Conditia asupra probabilitatii se exprima prin ecuatia n(n-1)=2a(a-1). De aici si din inegalitatile 2 <= n <= 20 obtinem n=4 si a=3.

    Problema 3.
    Inaltimea gaurii (1m) este chiar diametrul sferei. Daca se cunoaste si diametrul gaurii, atunci se poate calcula volumul cerut.

    Problema 5.
    Calatorind cu viteza luminii, naveta parcurge intr-un an distanta de 1 AL (an lumina). Dupa primul an distanta ramasa pana la frontiera universului radial creste instantaneu de la 99 AL la 1099 AL. Naveta nu va atinge niciodata aceasta frontiera.

  6. dan bujor said

    Corecta solutia la P2.

    La P3, am pastrat enuntul initial, care, din pacate, poate sa produca confuzii. De fapt, sfera are la capete 2 “capace” (pentru lamurire, in sectiune transversala avem un dreptunghi inscris intr-un cerc).

    P5 are, de fapt, o solutie. Trebuie luat in calcul si faptul ca si distantele parcurse de nava suporta aceleasi expansiuni ca si universul din care fac parte.

  7. mirix said

    Inaltimea gaurii (1m) este sa zicem lungimea dreptunghiului
    din sectiune; cum orice dreptunghi este inscriptibil=> diferite
    drept. de h=1 si de latimi diferite => diagonale diferite, deci sfere diferite, asadar gäuri (cilindrii) de volum diferit, depinzând de raza sferei…..

    Daca exista o rezolvare interesanta, cred ca oricine ar fi interesat s-o vada 🙂
    sau macar pe email, asa cum ati afirmat

  8. mirix said

    Problema cu sfera: raspuns : NU.
    insa a aparut un rezultat interesant in urma calculelor;
    daca intrebarea era:”Se poate afla volumul de corpului ramas
    fara a cunoaste raza sferei ?” , atunci rasp era DA si anume
    pentru h=1m=10dm => Vrest=500TT/3 dm^3 (500pi/3)si ca verificare puteti proba la limita, daca cili ar fi infinit de subtire si cu h=10dm =>corp ramas este sfera cu R sfera=5dm si
    V=4pi*5^3 / 3;
    anyway, am fost placut surprins de rezultat 🙂

  9. dan bujor said

    Scuze Mirix, se pare ca mi-a scapat comentariul tau de pe data de 1 iunie. Esti, insa, pe calea cea buna.
    Dupa ce am vazut rezolvarea, mi-am dat seama ca am scris gresit enuntul (lucru pentru care imi cer scuze).
    De fapt trebuia sa se calculeze volumul sferei gaurite (acum enuntul este modificat). Mai jos aveti si demonstratia.

    Pentru cazul dat de tine (cu cilindrul avand latimea 0), volumul are formula pe care ai dat-o mai sus V=4pi*r/3 (volumul sferei intregi), unde r=1/2 (jumatate din diametrul sferei, deci V=pi/6.

    Luam sectiunea transversala despre care am vorbit (dreptunghiul inscris in cerc), si ducem din centrul lui (care este si centrul cercului) perpendiculara pe latura de sus a dreptunghiului si dreapta spre coltul din dreapta (sa spunem), care este si raza in cerc.
    In triunghiul dreptunghic format cele 3 puncte notam cu x distanta de la perpendiculara la coltul din dreapta sus al dreptunghiului (x fiind si jumatatea laturii mici a dreptunghiului), celelalte laturi ale triunghiului dreptunghic fiind r (care este si ipotenuza in acest triunghi) si ultima cateta este jumatate din inaltimea de 1 m.
    Aplicam Teorema lui Pitagora in acest triunghi:
    r^2=x^2 + (1/2)^2, sau x^2 = r^2 – 1/4.

    Volumul sferei de raza r este 4*pi*r^3/3.
    Volumul unui cilindru cu raza x si inaltimea h este pi*x^2*h.
    Volumul “capacului” avand inaltimea y si raza r este pi*y^2 * (3r-y).
    Volumul cerut este egal cu volumul sferei, din care scadem volumul cilindrului si si volumul celor 2 “capace”
    4*pi*r^3/3 – pi*x^2*h – 2*pi*y^2 * (3r-y).
    Dar h=1, y = r – 1/2, x^2 = r^2 – 1/4, si, dupa inlocuirea in ecuatie se obtine rezultatul de pi/6.

  10. mirix said

    Volumul acelor capace nesuferite,numite si segmente de sfera , carora nu le-am gasit volumul pe goagäl 😀 , si care m-au facut sa ma mai simt odata studinte si sa fac calcule ca acu’ 30ani, este (pi*y(3*r^2+y^2))/6 ;
    o conditie necesara (nu si suficienta )ca o formula sa fie corecta este sa verifice conditii limita, adica daca segmentul de sfera ar creste mare si s-ar face semisfra , atunci y=R si r=R si se obtine 4piR^3/6
    Daca gasiti alta formula sau un link de incredere, postati 🙂

Leave a Reply

Fill in your details below or click an icon to log in:

WordPress.com Logo

You are commenting using your WordPress.com account. Log Out /  Change )

Google photo

You are commenting using your Google account. Log Out /  Change )

Twitter picture

You are commenting using your Twitter account. Log Out /  Change )

Facebook photo

You are commenting using your Facebook account. Log Out /  Change )

Connecting to %s